Otimização de uma função quadrática com restrições

> Contexto: Um arquiteto deseja maximizar a área de um terreno retangular que está sujeito a uma restrição de perímetro. O comprimento do terreno deve ser o dobro da largura. Se o perímetro total do terreno é de 100 metros, determine as dimensões que maximizam a área e calcule essa área máxima.

Considere a função da área $A$ em função da largura $x$ como:

Sujeita à restrição do perímetro:

, com $l=2w$.

Primeiro, vamos expressar a largura em termos do perímetro. Temos:

Substituindo $l=2w$:

Assim, o comprimento será:

A área é dada por:

Substituindo $w$:

Para maximizar a área, derivamos a função:

Igualando a zero para encontrar o ponto crítico:

Analisando a concavidade com a segunda derivada:

Isso indica que temos um mínimo em $x=0$. Portanto, a área máxima ocorre na borda do domínio, que é quando os lados do terreno são proporcionais à restrição do perímetro. Assim, as dimensões que maximizam a área são aproximadamente 33,33 metros de comprimento e 16,67 metros de largura, resultando em uma área máxima de aproximadamente 555,56 m².