Limites · Clássico de prova

Calcule $lim_{x \to 0}$ ( $1 + x$ − 1)/x

Enunciado

Considere o limite

x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x} .

a) Justifique por que a substituição direta produz a forma indeterminada $0/0$ .

b) Calcule o limite racionalizando o numerador.

c) Interprete o resultado como a derivada de $f (t) = t$ em $t = 1$ .

Solução detalhada

(a) Substituição direta em $x = 0$ :

1 + 0 - 1 = 0, denominador = 0.

Obtemos a forma indeterminada $0/0$ : a substituição direta não decide o limite; precisamos de álgebra (racionalização) ou reconhecimento como derivada.

(b) Racionalize o numerador com o conjugado $1 + x + 1$ :

\frac{1 + x - 1}{x} \cdot \frac{1 + x + 1}{1 + x + 1} = \frac{( 1 + x ) - 1}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{x}{x ( 1 + x + 1 )} .

Para $x \neq = 0$ , cancela-se $x$ :

\frac{1}{1 + x + 1} .

Agora a substituição é legítima:

x \to 0 lim \frac{1}{1 + x + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} .

(c) A definição de derivada em $t = 1$ para $f (t) = t$ é

f^{'} (1) = h \to 0 lim \frac{1 + h - 1}{h} = h \to 0 lim \frac{1 + h - 1}{h} .

É exatamente o limite calculado (com $h = x$ ). Como $f^{'} (t) = \frac{1}{2} t^{- 1/2}$ , temos $f^{'} (1) = \frac{1}{2}$ , confirmando o resultado.

Resposta: $\frac{1}{2}$ .

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