Otimização da Área de um Triângulo Isósceles

> Problema: Um triângulo isósceles tem uma base fixa de 10 cm. Determine a altura que maximiza a área desse triângulo. Calcule a área máxima e a altura correspondente.

A área $A$ de um triângulo é dada pela fórmula:

onde $b$ é a base e $h$ é a altura. Neste caso, a base $b=10$ cm. Encontre a altura $h$ que maximiza a área.

Para maximizar a área do triângulo, começamos substituindo a base na fórmula da área:

• A fórmula da área é:

• Agora, precisamos derivar a função área em relação à altura $h$:

• Como a derivada é constante e não depende de $h$, a área aumenta linearmente com a altura. Portanto, a área será maximizada quando a altura for a maior possível, respeitando as condições do problema.

• Considerando que a altura deve ser positiva, não há um limite superior para $h$ na formulação do problema, mas a altura deve ser tal que o triângulo ainda seja válido. Para um triângulo isósceles, a altura pode ser determinada a partir de um limite prático, como a altura máxima que se pode alcançar sem comprometer a estrutura do triângulo.

• Se considerarmos que a altura não pode exceder a base, podemos estabelecer que $h$ deve ser menor ou igual a 10 cm. Assim, a altura máxima que maximiza a área é $h=10$ cm.

• Substituindo $h=10$ na fórmula da área:

Portanto, a altura que maximiza a área do triângulo isósceles é $10$ cm, resultando em uma área máxima de $50$ cm².