Otimização da Área de um Triângulo Isósceles

> Conceito-chave: A área de um triângulo isósceles pode ser otimizada em função de seu perímetro.

Um triângulo isósceles possui um perímetro fixo de $P=20$ unidades. Se a base do triângulo é denotada por $b$ e a altura por $h$, determine o valor da base $b$ que maximiza a área do triângulo. Utilize a relação entre a base, a altura e o perímetro para formular a função a ser otimizada e aplique as técnicas de derivadas para encontrar o valor ótimo.

Vamos resolver o problema passo a passo:

• Definindo as variáveis:
• - Seja $b$ a base do triângulo e $h$ a altura.
• - O perímetro do triângulo é dado por $P=b+2s$, onde $s$ é a medida dos lados iguais. Para um triângulo isósceles, temos:

• Expressando a altura em função da base:
• - Usando o teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura e metade da base:

• Substituindo $s$:

• Expandindo e simplificando:

• Portanto, a altura é:

• Função da área:
• - A área $A$ do triângulo é dada por:

• Derivando a função da área:
• - Para maximizar a área, derivamos $A$ em relação a $b$:

• Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

• Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{100-10b}$:

• Análise do ponto crítico:
• - Para verificar se este valor maximiza a área, calculamos a segunda derivada:

para $b<10$, indicando que temos um máximo.

• Conclusão:
• - O valor da base que maximiza a área do triângulo isósceles é $b=\frac{20}{3}$ unidades. A altura correspondente pode ser calculada substituindo $b$ na expressão de $h$.