Otimização da área de um retângulo com perímetro fixo

> Conceito-chave: A otimização é uma aplicação importante das derivadas.

Um retângulo tem um perímetro fixo de 40 metros. Determine as dimensões do retângulo que maximizam sua área. Seja $x$ a largura e $y$ a altura do retângulo.

Vamos resolver o problema passo a passo:

• Definindo a área e o perímetro:
• A área $A$ do retângulo é dada por:

O perímetro $P$ é dado por:

Como o perímetro é fixo em 40 metros, temos:

Simplificando, obtemos:

Portanto, podemos expressar $y$ em termos de $x$:

• Substituindo na função da área:
• Agora, substituímos $y$ na função da área:

Isso se torna:

• Derivando a função da área:
• Para encontrar o valor de $x$ que maximiza a área, derivamos $A$ em relação a $x$:

• Igualando a derivada a zero:
• Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:

Resolvendo, obtemos:

• Encontrando $y$:
• Agora, substituímos $x$ de volta na equação de $y$:

• Conclusão:
• As dimensões que maximizam a área do retângulo são $10$ metros de largura e $10$ metros de altura, formando um quadrado com área máxima de: