Mudança de Base e Autovalores em Espaços Vetoriais

Considere os vetores $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ e $v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$. Defina a matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ e considere a transformação linear $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ dada por $T(x)=Ax$.

1) Determine a matriz de $T$ na base canônica e na base $\{v_1,v_2,e_3\}$.
2) Calcule os autovalores e autovetores da matriz $A$.
3) Discuta a diagonalização de $A$ e a possibilidade de uma forma de Jordan, caso $A$ não seja diagonalizável.

1) A matriz de $T$ na base canônica é a própria matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Para encontrar a matriz de $T$ na nova base $\{v_1,v_2,e_3\}$, formamos a matriz de mudança de base $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$, onde a terceira coluna é a base canônica. Assim, a matriz de $T$ na nova base é dada por $P^{-1}AP$.

Para calcular $P^{-1}$, usamos o método de eliminação de Gauss ou a fórmula para a inversa de matrizes. Após calcular, encontramos que $P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& -3& 1\end{array}\right)$. Portanto,

2) Para encontrar os autovalores de $A$, calculamos o determinante de $A-\lambda I=0$, onde $I$ é a matriz identidade. Assim, temos:

portanto, o autovalor $\lambda =1$ é de multiplicidade 3.

Os autovetores correspondentes são encontrados resolvendo $(A-I)x=0$, resultando em $x=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ x_3\end{array}\right)$, onde $x_3$ é livre. Portanto, um autovetor é $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$. Para encontrar uma base de autovetores, precisamos de mais vetores lineares independentes, que podem ser obtidos através da análise da matriz de Jordan.

3) A matriz $A$ não é diagonalizável, pois não há três autovetores linearmente independentes; assim, a forma de Jordan é utilizada. A matriz de Jordan correspondente terá um bloco de $1$ de ordem 3, resultando em:

Assim, a discussão sobre a diagonalização de $A$ e a forma de Jordan é fundamental para entender a estrutura da transformação linear definida por $T$.