Mudança de Base e Cálculo de Autovalores

> Conceito-chave: A mudança de base é uma ferramenta fundamental em álgebra linear que permite simplificar a análise de transformações lineares.

Considere o espaço vetorial ext{V} = ext{span}\\{\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} em $mathbb{R}^3$ e a matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$. Determine a matriz de transformação linear $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ em relação à base canônica e à base \\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}, onde $mathbf{v}_3$ é um vetor linearmente independente de $mathbf{v}_1$ e $mathbf{v}_2$. Em seguida, calcule os autovalores da matriz $A$ e discorra sobre a não-diagonalizabilidade de $A$.

Para encontrar a matriz de transformação linear $T$ em relação à nova base, precisamos primeiro determinar um vetor $mathbf{v}_3$ que seja linearmente independente de $mathbf{v}_1$ e $mathbf{v}_2$. Um exemplo de vetor que pode ser utilizado é $mathbf{v}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$.

Assim, temos a nova base:

A matriz de mudança de base $P$ que transforma coordenadas da base canônica para a nova base é dada por:

Agora, precisamos calcular a matriz de transformação $T$ em relação à base canônica. A matriz $A$ na base canônica é:

A matriz de transformação em relação à nova base é dada por:

Para encontrar $P^{-1}$, primeiro calculamos o determinante de $P$:

Portanto, a inversa de $P$ pode ser calculada e, em seguida, substituímos na fórmula de $T$.

Agora, para calcular os autovalores de $A$, precisamos resolver a equação característica:

onde $I$ é a matriz identidade. Portanto,

O determinante é:

Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Como todos os autovalores são iguais, a matriz $A$ não é diagonalizável, pois não há uma base de autovetores que a diagonalize. Portanto, a forma de Jordan deve ser utilizada para representar a matriz.