Mudança de Base e Autovalores em Espaços Vetoriais

Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão $n$ e $B=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}\}$ uma base de $V$. Considere a matriz $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ que representa uma transformação linear $T:V\to V$. A matriz $A$ na base $B$ é dada por $A_B$.

1) Se $\mathbf{v}\in V$ é um vetor cujas coordenadas na base canônica são ${\mathbf{v}}_c$, determine as coordenadas de $\mathbf{v}$ na base $B$.
2) Calcule os autovalores da matriz $A$ e, em seguida, determine a matriz de $T$ na nova base $B^{\prime }=\{{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3\}$, onde ${\mathbf{b}}_3$ é um vetor linearmente independente de ${\mathbf{b}}_1$ e ${\mathbf{b}}_2$.

Utilize $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$ para os cálculos.

1) As coordenadas de $\mathbf{v}$ na base $B$ podem ser obtidas utilizando a matriz de mudança de base. Seja $P$ a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores da base $B$ na base canônica.

Para a base $B=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3\}$, suponha que:
${\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{b}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{b}}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.

Assim, temos:

A matriz inversa $P^{-1}$ é a identidade, portanto as coordenadas de $\mathbf{v}$ na base $B$ são as mesmas que na base canônica:

2) Para calcular os autovalores da matriz $A$, resolvemos o polinômio característico:

onde $I$ é a matriz identidade.
Calculando, temos:

O determinante é:

Resolvendo, obtemos os autovalores:

Agora, para a nova base $B^{\prime }$, precisamos encontrar a matriz de mudança de base $Q$ que transforma coordenadas de $B$ para $B^{\prime }$.
A matriz $Q$ é dada por:

A matriz $A$ na nova base é dada por:

Calculando $Q^{-1}$:

Portanto,

Após realizar as multiplicações, obtemos a matriz de $T$ na nova base $B^{\prime }$.