Mudança de Base e Autovalores em Espaços Vetoriais

Considere o espaço vetorial ${\mathbb{R}}^2$ com a base canônica $B=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$ onde ${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ e ${\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$. Seja a transformação linear $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ dada por $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, onde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Determine a matriz de $T$ na nova base $B^{\prime }=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$, onde ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ e ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Em seguida, calcule os autovalores da matriz de $T$ na base $B^{\prime }$ e discuta sua diagonalizabilidade.

Começamos definindo a matriz de mudança de base $P$ que leva a base canônica $B$ para a nova base $B^{\prime }$:

Agora, precisamos encontrar a inversa de $P$, que será usada para a mudança de base:

Com a matriz de mudança de base, podemos agora calcular a matriz de $T$ na nova base $B^{\prime }$:

Substituindo os valores:

Realizando a multiplicação:

• Primeiro, calculamos $AP$:

• Agora, multiplicamos $P^{-1}$ por $AP$:

Agora, temos a matriz de $T$ na nova base $B^{\prime }$ como:

Os autovalores de $A^{\prime }$ podem ser encontrados resolvendo o polinômio característico:

onde $I$ é a matriz identidade:

Os autovalores são:

Para a diagonalizabilidade, observamos que o autovalor ${\lambda }_1=-6$ tem multiplicidade algébrica 1 e o autovalor ${\lambda }_2=0$ tem multiplicidade algébrica 2. Precisamos encontrar os autovetores associados:

• Para ${\lambda }_1=-6$:

• Para ${\lambda }_2=0$:

Os autovetores formam uma base do espaço vetorial, portanto, a matriz $A^{\prime }$ é diagonalizável. Assim, concluímos que a transformação linear $T$ é diagonalizável na nova base $B^{\prime }$.