Mudança de Base e Autovalores em Espaços Vetoriais

Seja $V$ um espaço vetorial de dimensão 2 sobre o corpo dos números complexos. Considere a matriz $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. Determine:
a) Os autovalores de $A$.
b) Uma base de $V$ correspondente a cada autovalor.
c) A matriz de $A$ na nova base obtida a partir dos autovalores.
d) Verifique se a matriz é diagonalizável e, se não for, encontre a forma de Jordan.

Para resolver a questão, começamos encontrando os autovalores da matriz $A$. Utilizamos o polinômio característico dado por $\det (A-\lambda I)=0$.

• Cálculo do polinômio característico:
• \[
• A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}
• \]
• O determinante é:
• \[
• \det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(1) = -\lambda(2 - \lambda) + 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 1
• \]
• Portanto, o polinômio característico é:
• \[
• \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0
• \]
• Resolvendo, temos:
• \[
• \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 1 \text{ (autovalor de multiplicidade 2)}
• \]

• Cálculo dos autovetores:
• Para encontrar os autovetores, resolvemos:
• \[
• (A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0
• \]
• Isso nos dá a relação $x_1=x_2$. Portanto, um autovetor é:
• \[
• v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
• \]
• Como a multiplicidade do autovalor é 2, buscamos um autovetor generalizado. Resolvemos:
• \[
• (A - I)v_2 = v_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
• \]
• O que resulta em:
• \[
• x_1 - x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 1 \Rightarrow x_1 = x_2 + 1
• \]
• Tomando $x_2=0$, obtemos $v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

• Base de $V$:
• A base de $V$ correspondente ao autovalor ${\lambda }_1=1$ é dada por:
• \[
• B = \{v_1, v_2\} = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}
• \]

• Matriz na nova base:
• Para encontrar a matriz de $A$ na nova base $B$, precisamos da matriz de mudança de base $P$, cujas colunas são os vetores da base $B$:
• \[
• P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
• \]
• A matriz $A_B$ na nova base é dada por:
• \[
• A_B = P^{-1}AP
• \]
• Calculando $P^{-1}$:
• \[
• P^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
• \]
• Agora, calculamos $A_B$:
• \[
• A_B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
• \]

• Verificação da diagonalizabilidade:
• A matriz $A$ é diagonalizável se existe uma base de autovetores. Como temos apenas um autovetor linearmente independente, $A$ não é diagonalizável. Portanto, precisamos da forma de Jordan:
• \[
• J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
• \]

Assim, a resposta final é que a matriz não é diagonalizável, e a forma de Jordan é $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.