Mudança de Base e Autovalores: Questão Avançada

> Contexto: Considere um espaço vetorial $V$ de dimensão 2 sobre o corpo dos números complexos. Seja $T:VoV$ uma transformação linear representada pela matriz $A$ em relação à base canônica eta = \{e_1, e_2\} dada por:
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> Considere também a nova base eta' = \{v_1, v_2\}, onde $v_1=e_1+e_2$ e $v_2=e_1-e_2$. Calcule a matriz da transformação $T$ em relação à nova base eta' e determine os autovalores da matriz resultante. Discuta se a transformação é diagonalizável e justifique sua resposta com base nos autovalores encontrados.

Para encontrar a matriz da transformação $T$ em relação à nova base eta', seguimos os passos abaixo:

• Encontrar a matriz de mudança de base: A matriz de mudança de base $P$ que transforma as coordenadas da base canônica eta para a nova base eta' é dada por:

Isso porque $v_1=e_1+e_2$ e $v_2=e_1-e_2$ podem ser representados em termos da base canônica.

• Calcular a matriz inversa de $P$: A inversa de $P$ é dada por:

O determinante de $P$ é 2, então a inversa existe.

• Transformar a matriz $A$: A matriz da transformação $T$ em relação à nova base eta' é dada por:

Vamos calcular:

Fazendo a multiplicação, obtemos:

• Encontrar os autovalores de $A^{\prime }$: Para encontrar os autovalores, precisamos resolver o polinômio característico:

Onde $I$ é a matriz identidade de ordem 2. Portanto:

O determinante se torna:

Resolvendo essa equação, obtemos os autovalores:

Portanto, os autovalores são ${\lambda }_1=4$ e ${\lambda }_2=2$.

• Verificar a diagonalizabilidade: Como temos dois autovalores distintos, a matriz $A^{\prime }$ é diagonalizável. Portanto, a transformação linear $T$ também é diagonalizável na nova base eta'.