Mudança de base e autovalores: um estudo avançado

> Conceito-chave: A mudança de base em um espaço vetorial pode alterar a representação de uma transformação linear.

Considere a transformação linear $T:ext{R}^2\to {\text{R}}^2$ dada pela matriz

• Determine a matriz de $T$ na base canônica e na base $B=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\}$.
• Calcule os autovalores e autovetores da matriz $A$.
• Discuta a diagonalizabilidade de $A$ e o que isso implica sobre a transformação $T$.

Para resolver o problema, seguimos os passos abaixo:

• Matriz de $T$ na base canônica: A matriz $A$ já está na base canônica.

• Mudança de base: Para encontrar a matriz de $T$ na base $B$, precisamos encontrar a matriz de mudança de base $P$, cujas colunas são os vetores da nova base $B$:

O inverso de $P$ é:

A matriz de $T$ na nova base é dada por:

Calculando:

Após a multiplicação, encontramos:

• Autovalores e autovetores: Para encontrar os autovalores de $A$, resolvemos a equação característica:

onde $I$ é a matriz identidade. Assim:

Os autovalores são:

Como temos um autovalor repetido, encontramos os autovetores resolvendo:

O sistema é:

resultando em um autovetor $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$
Para a diagonalizabilidade, notamos que a multiplicidade algébrica é 2, mas a multiplicidade geométrica é 1, portanto $A$ não é diagonalizável. Isso implica que a transformação $T$ não pode ser representada por uma matriz diagonal em nenhuma base.