Maximização de uma função quadrática com restrições

> Problema: Uma empresa deseja fabricar um produto que requer duas matérias-primas, $x$ e $y$. O custo total de produção é dado pela função $C(x,y)=3x^2+2y^2-4xy$. A empresa tem uma restrição de que a quantidade total de matérias-primas não pode ultrapassar 10 unidades, ou seja, $x+y=10$. Determine os valores de $x$ e $y$ que minimizam o custo total de produção e calcule o custo mínimo.

Para resolver o problema, seguimos os seguintes passos:

• Substituição da restrição: A restrição é dada por $x+y=10$. Podemos expressar $y$ em termos de $x$: $y=10-x$.

• Substituição na função de custo: A função de custo se torna:

• Derivada da função de custo: Calculamos a derivada de $C(x)$:

• Encontrar pontos críticos: Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

• Encontrar $y$ correspondente: Substituímos $x$ na restrição para encontrar $y$:

• Verificar se é mínimo: Para verificar se $C(x)$ é um mínimo, calculamos a segunda derivada:

que é positiva, indicando que temos um mínimo.

• Cálculo do custo mínimo: Substituímos $x$ e $y$ na função de custo:

Portanto, os valores que minimizam o custo total de produção são $x=\frac{40}{9}$ e $y=\frac{50}{9}$, com um custo mínimo de $\frac{200}{9}$.