Aplicacoes · Intermediário

Máximo e Mínimo de Função Quadrática com Aplicações da Derivada

Enunciado

> Considere a função $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ . Determine os pontos de máximo e mínimo da função, bem como a concavidade da mesma. Utilize a derivada para encontrar as coordenadas dos pontos críticos e classifique-os.

Dica: Lembre-se que a concavidade pode ser determinada pela segunda derivada.

Solução detalhada

Para encontrar os pontos críticos da função $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 3$ , começamos calculando a primeira derivada:

egin{aligned} f'(x) &= rac{d}{dx}(-2x^2 + 8x - 3) \ &= -4x + 8. \end{aligned}

Igualamos a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

egin{aligned} -4x + 8 &= 0 \ 4x &= 8 \ x &= 2.\end{aligned}

Agora, vamos determinar se este ponto é um máximo ou um mínimo, calculando a segunda derivada:

egin{aligned} f''(x) &= rac{d}{dx}(-4x + 8) \ &= -4.\end{aligned}

Como $f^{''} (x) = - 4 < 0$ , a função é côncava para baixo, indicando que o ponto $x = 2$ é um ponto de máximo.

Para encontrar o valor máximo, substituímos $x = 2$ na função original:

egin{aligned} f(2) &= -2(2)^2 + 8(2) - 3 \ &= -8 + 16 - 3 \ &= 5.\end{aligned}

Portanto, o ponto de máximo da função é $(2, 5)$ . Não há pontos de mínimo, pois a função é uma parábola voltada para baixo.

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