Limites · Avançado

Limite de uma função com indeterminação e L'Hôpital

Enunciado

> Enunciado: Calcule o limite a seguir utilizando a regra de L'Hôpital, se necessário:
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e x t l im_{x o 0} \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}}

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> Justifique cada passo da sua resolução.

Para calcular o limite:

e x t l im_{x o 0} \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}},

substituímos $x = 0$ na função:

\frac{1 - cos ( 0 )}{0 ^{2}} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0},

que é uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ . Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que afirma que:

lim_{x \to c} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to c} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

se a indeterminação persistir. Assim, derivamos o numerador e o denominador:

Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital:

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{sin ( x )}{2 x} .

Substituindo $x = 0$ novamente, obtemos:

\frac{sin ( 0 )}{2 \cdot 0} = \frac{0}{0},

que ainda é uma indeterminação. Portanto, aplicamos a regra de L'Hôpital mais uma vez:

Assim, temos:

lim_{x \to 0} \frac{sin ( x )}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{cos ( x )}{2} .

Substituindo $x = 0$ :

\frac{cos ( 0 )}{2} = \frac{1}{2} .

Portanto, o limite é:

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos ( x )}{x ^{2}} = \frac{1}{2} .

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