Limites · Avançado

Cálculo do Limite de uma Função Racional

Enunciado

Determine o limite da função $f (x) = \frac{2 x + 3}{x ^{2} - 4}$ quando $x$ tende a $2$ . Utilize a regra de L'Hôpital se necessário e justifique cada passo da sua solução.

Solução detalhada

Vamos calcular o limite:

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{2 x + 3}{x ^{2} - 4} .

Substituindo $x = 2$ , temos:

f (2) = \frac{2 ( 2 ) + 3}{2 ^{2} - 4} = \frac{4 + 3}{4 - 4} = \frac{7}{0},

que é uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ . Portanto, aplicamos a regra de L'Hôpital, que nos diz que se temos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ , podemos derivar o numerador e o denominador:

Derivando o numerador:

f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (2 x + 3) = 2.

Derivando o denominador:

g^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) = 2 x .

Portanto, aplicando a regra de L'Hôpital:

x \to 2 lim f (x) = x \to 2 lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = x \to 2 lim \frac{2}{2 x} = \frac{2}{2 ( 2 )} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .

Assim, o limite de $f (x)$ quando $x$ tende a $2$ é $\frac{1}{2}$ .

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