Calcule o limite: lim x$\to$0 de (1 + x)^(1/x)

Calcule o limite a seguir utilizando técnicas apropriadas:

Indique se o limite é finito ou não e justifique o seu resultado.

Para calcular o limite, começamos reescrevendo a expressão utilizando a definição da função exponencial:

Podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados:

Agora, aplicamos a regra de L'Hôpital, pois temos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ quando $x\to 0$. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador:

• Derivada do numerador: $\frac{d}{dx}\ln (1+x)=\frac{1}{1+x}$
• Derivada do denominador: $\frac{d}{dx}x=1$

Assim, aplicando a regra de L'Hôpital:

Portanto, temos:

Exponenciando ambos os lados, obtemos:

Assim, concluímos que:

Portanto, o limite é finito e igual a $e$.