Calcule ${\lim }_{x\to 0}$ sen(x)/x com L'Hôpital ou geometria

Considere

a) Mostre que a substituição direta dá $0/0$.

b) Calcule o limite usando a regra de L'Hôpital (justifique a hipótese).

c) Cite, sem demonstrar, outro caminho clássico (desigualdades geométricas / squeeze).

(a) Substituição: $\mathrm{sen}0=0$, denominador $0$ → $0/0$.

(b) Em uma vizinhança de $0$ (exceto $0$), $\mathrm{sen}$ e $\mathrm{id}$ são diferenciáveis e o limite do quociente das derivadas existe:

Pela regra de L'Hôpital, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\mathrm{sen}x}{x}=1$.

(c) O teorema do confronto com desigualdades geométricas no círculo unitário também prova o mesmo limite (base de muitos livros de Cálculo I).

Resposta: $1$.