Integrais Indef · Avançado

Calcule a integral de $sin^{2} (x)$

Enunciado

Calcule a integral indefinida da função $f (x) = sin^{2} (x)$ , ou seja, determine $\int sin^{2} (x) d x$ .

Para resolver a integral $\int sin^{2} (x) d x$ , utilizaremos a identidade trigonométrica que relaciona o seno ao cosseno. A identidade é dada por:

sin^{2} (x) = \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} .

Assim, podemos reescrever a integral:

\int sin^{2} (x) d x = \int \frac{1 - cos ( 2 x )}{2} d x .

Agora, separamos a integral:

\int sin^{2} (x) d x = \frac{1}{2} \int (1 - cos (2 x)) d x = \frac{1}{2} (\int 1 d x - \int cos (2 x) d x) .

Calculando as integrais separadamente:
1. A integral de 1 é:

\int 1 d x = x .

\int cos (2 x) d x = \frac{1}{2} \int cos (u) d u = \frac{1}{2} sin (u) + C = \frac{1}{2} sin (2 x) + C .

Agora, substituímos os resultados de volta na integral:

\int sin^{2} (x) d x = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + C .

Portanto, a integral indefinida de $sin^{2} (x)$ é:

\int sin^{2} (x) d x = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} sin (2 x) + C .

onde $C$ é a constante de integração.

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