Integrais Indef · Avançado

Cálculo da integral indefinida de uma função trigonométrica

Enunciado

> Considere a função $f(x) = rac{ an(x)}{ an^2(x) + 1}$ . Calcule a integral indefinida $ I = \int f(x) \, dx $. Utilize a substituição adequada e justifique cada passo da sua resolução.

Solução detalhada

Para resolver a integral $ I = \int \frac{\tan(x)}{\tan^2(x) + 1} \, dx $, utilizamos a substituição $ u = \tan(x) $. Portanto, temos que $ du = \sec^2(x) \, dx $ e, como $ \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) $, podemos escrever $ dx = \frac{du}{1 + u^2} $. Assim, a integral se transforma em:

I = \int \frac{u}{u ^{2} + 1} \cdot \frac{d u}{1 + u ^{2}} = \int \frac{u}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u .

Agora, aplicamos a substituição $ v = u^2 + 1 $, o que implica que $ dv = 2u \, du $ ou $ du = \frac{dv}{2u} $. Substituindo na integral, temos:

I = \int \frac{u}{v ^{2}} \cdot \frac{d v}{2 u} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{v ^{2}} d v .

A integral de $ \frac{1}{v^2} $ é conhecida:

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v} + C .

Portanto, substituindo de volta, obtemos:

I = - \frac{1}{2 ( v )} + C = - \frac{1}{2 ( u ^{2} + 1 )} + C = - \frac{1}{2 ( tan ^{2} ( x ) + 1 )} + C .

Finalmente, como $ \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) $, temos:

I = - \frac{1}{2 sec ^{2} ( x )} + C = - \frac{1}{2} cos^{2} (x) + C .

Assim, a integral indefinida é dada por:

I = - \frac{1}{2} cos^{2} (x) + C .

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