Integrais Indef · Avançado

Calcule a integral indefinida de uma combinação de seno e cosseno

Enunciado

Calcule a integral indefinida da seguinte função:

I = \int (3 sin (x) + 4 cos (2 x)) d x .

Para resolver a integral, vamos separar os termos e aplicar as propriedades das integrais. A integral pode ser escrita como:

I = \int 3 sin (x) d x + \int 4 cos (2 x) d x .

Agora, vamos calcular as integrais separadamente:

\int 3 sin (x) d x = 3 (- cos (x)) + C_{1} = - 3 cos (x) + C_{1} .

\int 4 cos (2 x) d x,

utilizamos a substituição:
- Seja

u = 2 x,

então

d u = 2 d x

d x = \frac{d u}{2} .

\int 4 cos (2 x) d x = 4 \int cos (u) \frac{d u}{2} = 2 \int cos (u) d u .

cos (u)

sin (u),

portanto:

2 \int cos (u) d u = 2 sin (u) + C_{2} = 2 sin (2 x) + C_{2} .

I = - 3 cos (x) + 2 sin (2 x) + C,

onde

C = C_{1} + C_{2}

é a constante de integração.

Assim, a integral indefinida é:

I = - 3 cos (x) + 2 sin (2 x) + C .

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