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Cálculo de Integral Indefinida com Substituição e Integração por Partes

Enunciado

> Conceito-chave: A integração por partes é uma técnica útil quando a integral é composta por produtos de funções.

Calcule a integral indefinida:

e x t I = in t x e^{2 x} d x

Utilize a técnica de integração por partes e, se necessário, a substituição adequada.

Para resolver a integral $e x t I = \int x e^{2 x} d x$ , utilizaremos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:

egin{aligned} & u = x \\ & dv = e^{2x} \, dx \\ \end{aligned}

Calculamos agora $d u$ e $v$ :

d u = d x v = \int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}

Aplicando a fórmula de integração por partes:

\int u d v = uv - \int v d u

Substituindo os valores:

I = x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x

Agora, calculamos a integral restante:

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}

Substituindo de volta:

I = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} + C = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

Portanto, a solução da integral é:

I = \frac{1}{2} e^{2 x} (x - \frac{1}{2}) + C

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