Cálculo de Integral Imprópria de uma Função Logarítmica

> Conceito-chave: Integrais impróprias são aquelas que envolvem limites infinitos ou descontinuidades.

Calcule a integral imprópria:

Vamos resolver a integral imprópria:

Para calcular essa integral, utilizaremos a técnica de integração por partes. Seja:
- $u=\ln (x)$, então $du=\frac{1}{x}dx$.
- $dv=\frac{1}{x^2}dx$, então $v=-\frac{1}{x}$.

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:

Substituindo, obtemos:

A integral de $\frac{1}{x^2}$ é:

Assim, temos:

Agora, substituindo os limites da integral:

Sabendo que $\ln (1)=0$, temos:

Analisando o limite:
- $\frac{\ln (b)}{b}\to 0$ quando $b\to \infty$.
- $\frac{1}{b}\to 0$ quando $b\to \infty$.

Portanto:

Assim, o resultado da integral imprópria é: