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Calcule a integral indefinida de \( \frac{1}{x} + x \)

Enunciado

Calcule a integral indefinida da função \( f(x) = \frac{1}{x} + x \).

Para calcular a integral indefinida da função \( f(x) = \frac{1}{x} + x \), seguimos os passos abaixo:

\int f (x) d x = \int (\frac{1}{x} + x) d x = \int \frac{1}{x} d x + \int x d x

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C_{1}

onde \( C_1 \) é uma constante de integração.

Calcular a segunda integral: Para a integral de \( x \), aplicamos a regra da potência:

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2} + C_{2}

onde \( C_2 \) é outra constante de integração.

\int f (x) d x = ln ∣ x ∣ + \frac{x ^{2}}{2} + C

onde \( C = C_1 + C_2 \) é uma constante geral de integração.

Verificação: Para garantir que a solução está correta, podemos derivar a função resultante:

\frac{d}{d x} (ln ∣ x ∣ + \frac{x ^{2}}{2} + C) = \frac{1}{x} + x

que é exatamente a função original \( f(x) \).

Portanto, a integral indefinida de \( f(x) = \frac{1}{x} + x \) é:

\int f (x) d x = ln ∣ x ∣ + \frac{x ^{2}}{2} + C

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