Determine a base e a dimensão do espaço-linha e espaço-coluna da matriz

Dada a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \), determine a base e a dimensão do espaço-linha e do espaço-coluna de \( A \).

Para determinar a base e a dimensão do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz \( A \), precisamos realizar a redução de \( A \) à sua forma escalonada.

• Começamos com a matriz \( A \):
• \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

• Realizamos operações elementares para obter a forma escalonada. Subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha e 7 vezes a primeira linha da terceira linha:
• \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \]

• Agora, dividimos a segunda linha por -3:
• \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} \]

• Em seguida, somamos 6 vezes a segunda linha à terceira linha:
• \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

• A matriz agora está na forma escalonada. As linhas não nulas são \( R_1 = (1, 2, 3) \) e \( R_2 = (0, 1, 2) \). Portanto, uma base do espaço-linha é dada por:
• \[ B_{linha} = \{ (1, 2, 3), (0, 1, 2) \} \]

• A dimensão do espaço-linha é o número de vetores na base, que é 2:
• \[ \text{dim}(Espaço-Linha) = 2 \]

• Para o espaço-coluna, observamos as colunas da matriz original \( A \). As colunas correspondentes a \( R_1 \) e \( R_2 \) são as colunas 1 e 2 de \( A \): \( (1, 4, 7) \) e \( (2, 5, 8) \). Portanto, uma base do espaço-coluna é dada por:
• \[ B_{coluna} = \{ (1, 4, 7), (2, 5, 8) \} \]

• A dimensão do espaço-coluna também é 2:
• \[ \text{dim}(Espaço-Coluna) = 2 \]

Assim, concluímos que a base do espaço-linha é \( B_{linha} = \{ (1, 2, 3), (0, 1, 2) \} \) com dimensão 2, e a base do espaço-coluna é \( B_{coluna} = \{ (1, 4, 7), (2, 5, 8) \} \) também com dimensão 2.