Determine a base e a dimensão do espaço-linha e espaço-coluna da matriz

Considere a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \). Determine a base e a dimensão do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz \( A \).

Para determinar a base e a dimensão do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz \( A \), devemos realizar a redução da matriz para a forma escalonada. Vamos começar pela matriz \( A \):

Realizamos operações elementares nas linhas:

• Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:

• Subtraímos a primeira linha da terceira linha:

• Multiplicamos a terceira linha por -1:

Agora, temos a matriz na forma escalonada. As linhas não nulas da matriz escalonada são:

e

.

Assim, a base do espaço-linha de \( A \) é dada por:

A dimensão do espaço-linha é o número de vetores na base, que é 2.

Agora, para o espaço-coluna, observamos as colunas correspondentes a essas linhas pivô na matriz original:

As colunas 1 e 3 de \( A \) são:

e

.

Portanto, a base do espaço-coluna de \( A \) é dada por:

A dimensão do espaço-coluna também é 2.

Resumindo:
- Base do espaço-linha: \( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \} \)
- Dimensão do espaço-linha: 2
- Base do espaço-coluna: \( \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} \} \)
- Dimensão do espaço-coluna: 2