Problema de otimização com derivadas parciais

> Enunciado: Considere a função $f(x,y)=x^2+2y^2-4x-8y+10$. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como máximos, mínimos ou pontos de sela. Em seguida, calcule o valor máximo e mínimo da função sob a restrição $g(x,y)=x+y-5=0$ utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.

• Encontre os pontos críticos de $f(x,y)$.
• Classifique esses pontos críticos.
• Utilize a restrição para encontrar os valores extremos.

Para resolver o problema, seguiremos os passos abaixo:

• Encontrar as derivadas parciais:
• - A derivada parcial de $f$ em relação a $x$ é:

• A derivada parcial de $f$ em relação a $y$ é:

• Igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
• - Igualando a derivada em relação a $x$ a zero:

• Igualando a derivada em relação a $y$ a zero:

• Portanto, o ponto crítico é $(2,2)$.

• Classificar o ponto crítico:
• - Para classificar o ponto crítico, calculamos a matriz Hessiana:

• Calculamos as segundas derivadas:

• Logo, a matriz Hessiana é:

• O determinante de $H$ é:

• Como $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}>0$, o ponto $(2,2)$ é um mínimo local.

• Encontrar os valores extremos com a restrição:
• - Usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função auxiliar:

• Assim, temos:

• Calculamos as derivadas:

• Resolvendo o sistema:
• - Da primeira equação, temos $\lambda =4-2x$.
• - Da segunda, temos $\lambda =8-4y$.
• - Igualando as duas expressões para $\lambda$:

• Substituindo na restrição:

• Portanto, $x=2(\frac{7}{3})-2=\frac{14}{3}-2=\frac{8}{3}$.
• - O ponto é $\left(\frac{8}{3},\frac{7}{3}\right)$.

• Calculando o valor de $f$ nesse ponto:
• - Substituindo $x$ e $y$:

• Calculando cada termo:

• Portanto, o valor mínimo da função sob a restrição é $-4$ no ponto .