Calcule a segunda derivada da função logarítmica complexa

Considere a função f(x) = rac{ln(x^2 + 1)}{x}. Calcule a segunda derivada $f^{\prime \prime }(x)$ da função, avaliando a continuidade de $f^{\prime }$ e identificando possíveis assíntotas.

Para encontrar a segunda derivada da função $f(x)=\frac{ln(x^2+1)}{x}$, seguimos os seguintes passos:

• Encontrar a primeira derivada $f^{\prime }(x)$:
• Usamos a regra do quociente:

onde $g(x)=ln(x^2+1)$ e $h(x)=x$.
- Calculamos $g^{\prime }(x)$:

• Calculamos $h^{\prime }(x)$:

• Aplicando a regra do quociente:

• Simplificar $f^{\prime }(x)$:

• Encontrar a segunda derivada $f^{\prime \prime }(x)$:
• Novamente aplicamos a regra do quociente:

onde $u=2x^2-ln(x^2+1)(x^2+1)$ e $v=x^2(x^2+1)$.
- Precisamos calcular $u^{\prime }$ e $v^{\prime }$:
- Para $u$, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:

• Para $v$, temos:

• Substituir $u$, $u^{\prime }$, $v$, e $v^{\prime }$ na fórmula de $f^{\prime \prime }(x)$:

• Analisar a continuidade de $f^{\prime }$:
• A função $f^{\prime }$ é contínua em seu domínio, exceto onde $x=0$ que não está definido. Portanto, devemos considerar a continuidade em $x\to 0$ e verificar o limite:

• Identificar assíntotas:
• - Para assíntotas verticais, verificamos onde $f^{\prime }(x)$ não está definido. Neste caso, $f^{\prime }(x)$ tende a infinito quando $x\to 0$.

Portanto, a segunda derivada $f^{\prime \prime }(x)$ é dada pela expressão encontrada e a análise de continuidade e assíntotas pode ser feita com os limites apropriados.