Calcule a derivada de uma função trigonométrica composta

Calcule a derivada da função $f(x)=an(3x^2+2)$ e determine o valor de $f^{\prime }(1)$.

Para calcular a derivada da função $f(x)=an(3x^2+2)$, utilizaremos a regra da cadeia e a derivada da função tangente.

• Identificamos a função externa e a função interna. A função externa é $g(u)=an(u)$ e a função interna é $u(x)=3x^2+2$.

• Calculamos a derivada da função externa: $g^{\prime }(u)=\frac{d}{du}\tan (u)=\frac{1}{{\cos }^2(u)}={\sec }^2(u)$.

• Agora, calculamos a derivada da função interna: $u^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(3x^2+2)=6x$.

• Aplicamos a regra da cadeia: $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(u)\times u^{\prime }(x)={\sec }^2(3x^2+2)\times 6x$.

• Portanto, a derivada da função é:

• Para encontrar o valor de $f^{\prime }(1)$, substituímos $x=1$:

• Portanto, o valor de $f^{\prime }(1)$ é $6{\sec }^2(5)$.