Derivadas · Intermediário

Cálculo da derivada de uma função logarítmica composta

Enunciado

> Considere a função $f (x) = e x t l n (3 x^{2} + 2 x + 1)$ . Calcule a derivada $f^{'} (x)$ e determine os pontos críticos da função, analisando seu comportamento em relação a máximos e mínimos locais.

Solução detalhada

Vamos calcular a derivada da função $f (x) = e x t l n (3 x^{2} + 2 x + 1)$ utilizando a regra da cadeia.

Identificação de $g (x)$ :
Definimos $g (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Cálculo de $g^{'} (x)$ :
A derivada de $g (x)$ é:

egin{aligned} g'(x) &= 6x + 2. \\ ext{Portanto, temos: } g'(x) = 6x + 2. \\ ext{Agora, aplicamos a regra da cadeia:} \\ f'(x) &= \frac{1}{g(x)} g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 2x + 1} (6x + 2). \\ ext{Assim, a derivada é:} \\ f'(x) &= \frac{6x + 2}{3x^2 + 2x + 1}. \end{aligned}

Análise dos pontos críticos:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos $f^{'} (x)$ a zero:

6 x + 2 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} .

Determinação da concavidade:
Para determinar se este ponto é um máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada $f^{''} (x)$ :

f^{''} (x) = \frac{( 3 x ^{2} + 2 x + 1 ) ( 6 ) - ( 6 x + 2 ) ( 6 x + 2 )}{( 3 x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} .

Analisando o sinal de $f^{''} (x)$ em torno de $x = - \frac{1}{3}$ , podemos concluir sobre a concavidade e, consequentemente, sobre a natureza do ponto crítico encontrado.

Conclusão:
O ponto $x = - \frac{1}{3}$ é um ponto crítico da função $f (x)$ e, dependendo do sinal da segunda derivada, podemos afirmar se é um máximo ou mínimo local.

Explorar Derivadas · mais questões resolvidas da mesma matéria.

Pack sugerido: calc1-derivadas-intermediario

Cálculo da derivada de uma função logarítmica composta

Enunciado

Solução detalhada

Outras questões