Cálculo da Derivada de uma Função Composta com Limites

> Conceito-chave: Neste exercício, você irá aplicar a regra da cadeia e analisar limites.

Considere a função $f(x)=e^{g(x)}$, onde g(x) = rac{x^2 - 4}{x - 2}. Calcule a derivada $f^{\prime }(x)$ e analise o comportamento de $f^{\prime }(x)$ quando $x$ se aproxima de 2.

Dica: Utilize a regra da cadeia e identifique o limite que se forma na função $g(x)$.

Para calcular a derivada da função composta $f(x)=e^{g(x)}$, onde $g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$, aplicamos a regra da cadeia.

1. Cálculo da derivada usando a regra da cadeia:

A regra da cadeia nos diz que:

Portanto, precisamos calcular $g^{\prime }(x)$.

2. Cálculo de $g(x)$:

Primeiro, simplificamos $g(x)$:

Para $x\ne 2$, temos:

Portanto, $g(2)$ não está definido, mas o limite é:

• Cálculo de $g^{\prime }(x)$:
• Como $g(x)=x+2$ para $x\ne 2$, temos:

• Cálculo de $f^{\prime }(x)$:
• Agora substituímos na fórmula da derivada:

• Análise do limite de $f^{\prime }(x)$ quando $x\to 2$:
• Agora, calculamos:

Portanto, a derivada da função $f(x)$ é $f^{\prime }(x)=e^{x+2}$ e o limite de $f^{\prime }(x)$ quando $x$ se aproxima de 2 é $e^4$.