Derivadas · Intermediário

Calcule a derivada da função composta e do produto

Enunciado

Considere a função $f (x) = (2 x^{3} + 3 x^{2}) (an (x^{2}))$ . Calcule a derivada $f^{'} (x)$ .

Solução detalhada

Para calcular a derivada da função $f (x) = (2 x^{3} + 3 x^{2}) (an (x^{2}))$ , utilizamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Definimos as funções:
- $u (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2}$
- $v (x) = an (x^{2})$

Aplicamos a regra do produto:

f^{'} (x) = u^{'} (x) v (x) + u (x) v^{'} (x)

Calculamos $u^{'} (x)$ :

u^{'} (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 3 x^{2}) = 6 x^{2} + 6 x

Calculamos $v^{'} (x)$ usando a regra da cadeia:

v^{'} (x) = \frac{d}{d x} (an (x^{2})) = sec^{2} (x^{2}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x sec^{2} (x^{2})

Substituímos $u^{'} (x)$ , $u (x)$ , $v (x)$ e $v^{'} (x)$ na fórmula da derivada:

f^{'} (x) = (6 x^{2} + 6 x) (an (x^{2})) + (2 x^{3} + 3 x^{2}) (2 x sec^{2} (x^{2}))

Simplificamos a expressão:

f^{'} (x) = (6 x^{2} + 6 x) an (x^{2}) + (2 x^{3} + 3 x^{2}) (2 x sec^{2} (x^{2}))

A derivada final é:

f^{'} (x) = (6 x^{2} + 6 x) an (x^{2}) + (4 x^{4} + 6 x^{3}) sec^{2} (x^{2})

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