Continuidade · Intermediário

Calcule a continuidade de uma função por partes

Enunciado

Considere a função definida por partes:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 1, 3, x^{2} - 1, se x < 1, se x = 1, se x > 1.

Calcule se a função $f (x)$ é contínua em $x = 1$ .

Solução detalhada

Para determinar a continuidade da função $f (x)$ em $x = 1$ , precisamos verificar se $lim_{x \to 1} f (x) = f (1)$ e se o limite existe.

Calcule $f (1)$ :

f (1) = 3

Calcule o limite lateral esquerdo:

x \to 1^{-} lim f (x) = x \to 1 lim (2 x + 1) = 2 (1) + 1 = 3

Calcule o limite lateral direito:

x \to 1^{+} lim f (x) = x \to 1 lim (x^{2} - 1) = 1^{2} - 1 = 0

Verifique os limites:
- O limite lateral esquerdo é $3$ .
- O limite lateral direito é $0$ .

Como os limites laterais não são iguais, concluímos que:

x \to 1 lim f (x) n a ˜ o existe.

Portanto, a função $f (x)$ não é contínua em $x = 1$ pois $lim_{x \to 1} f (x) \neq = f (1)$ .

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