Continuidade · Intermediário

Calcule a continuidade da composição de funções

Enunciado

Considere as funções $f (x) = \frac{1}{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ . Calcule a continuidade da função composta $h (x) = f (g (x))$ no ponto $x = 2$ .

Solução detalhada

Para verificar a continuidade da função composta $h (x) = f (g (x))$ no ponto $x = 2$ , seguimos os seguintes passos:

Calcular $g (2)$ :

g (2) = 2^{2} - 1 = 4 - 1 = 3.

Calcular $h (2)$ :

h (2) = f (g (2)) = f (3) = \frac{1}{3} .

Calcular o limite de $h (x)$ quando $x$ se aproxima de 2:

x \to 2 lim h (x) = x \to 2 lim f (g (x)) = x \to 2 lim f (x^{2} - 1) = x \to 2 lim \frac{1}{x ^{2} - 1} .

Para calcular esse limite, substituímos $g (x)$ :

x \to 2 lim \frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2 ^{2} - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3} .

Verificar a continuidade:
Para que $h (x)$ seja contínua em $x = 2$ , precisamos que:

h (2) = x \to 2 lim h (x) .

Como ambos são iguais a $\frac{1}{3}$ , temos:

h (2) = \frac{1}{3} = x \to 2 lim h (x) .

Conclusão:
Portanto, a função $h (x)$ é contínua no ponto $x = 2$ .

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