Demostre a continuidade de uma função usando a definição ε-δ

> Considere a função $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ para $x\ne 1$.
>
> 1. Determine o limite da função conforme $x$ se aproxima de 1.
> 2. Usando a definição de continuidade por ε-δ, mostre que $f(x)$ é contínua em $x=1$.
> 3. Discuta o comportamento da função em $x=1$ e a sua continuidade nesse ponto.

Para resolver a questão, vamos seguir os passos indicados no enunciado:

• Cálculo do limite:
• A função dada é $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ para $x\ne 1$. Podemos simplificar a expressão:

Agora, calculamos o limite:

• Verificação da continuidade usando a definição ε-δ:
• Para que $f(x)$ seja contínua em $x=1$, devemos mostrar que para todo $ϵ>0$, existe um $\delta >0$ tal que se $0<|x-1|<\delta$, então $|f(x)-f(1)|<ϵ$.
• Sabemos que $f(1)=2$, portanto precisamos de:

Como já simplificamos $f(x)$, temos:

Agora, podemos escolher $\delta =ϵ$. Assim, se $0<|x-1|<\delta$, temos:

Portanto, a função é contínua em $x=1$.

3. Discussão sobre o comportamento em $x=1$:

A função não está definida em $x=1$, mas a continuidade em um ponto exige apenas que o limite exista e seja igual ao valor da função nesse ponto. Como mostramos que o limite é 2, podemos concluir que a função se comporta de maneira contínua em torno de $x=1$, embora não esteja definida exatamente nesse ponto.