Questão Avançada sobre Continuidade com Definição ε-δ

> Contexto: Considere a função $f(x)=x^3-3x+2$.
> Determine se $f$ é contínua em $x=1$ utilizando a definição de continuidade por ε-δ. Para isso, mostre que para todo $\epsilon >0$, existe um $\delta >0$ tal que se $|x-1|<\delta$, então $|f(x)-f(1)|<\epsilon$.

Para determinar se a função $f(x)=x^3-3x+2$ é contínua em $x=1$, vamos primeiro calcular $f(1)$:

$$egin{aligned}
f(1) & = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.
\
ext{Portanto, } f(1) & = 0.
ext{Agora, precisamos mostrar que para todo } ε > 0, ext{ existe } δ > 0 ext{ tal que se } |x - 1| < δ, ext{ então } |f(x) - f(1)| < ε.
\
ext{Assim, precisamos analisar } |f(x) - 0| = |f(x)| = |x^3 - 3x + 2|.
\
ext{Vamos fatorar } f(x):
\
f(x) & = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2).
\
ext{Logo, temos: } |f(x)| & = |(x - 1)^2 (x + 2)|.
\
ext{Para } |f(x)| < ε, ext{ precisamos que } |(x - 1)^2 (x + 2)| < ε.
\
ext{Se } |x - 1| < δ, ext{ então } |(x - 1)^2| < δ^2.
\
ext{Agora, precisamos limitar } |x + 2|.
\ ext{Se } |x - 1| < 1, ext{ então } 0 < x < 2 ext{ e } |x + 2| < 4.
\
ext{Portanto, temos: } |f(x)| < |(x - 1)^2| imes |x + 2| < 4δ^2.
\
ext{Para garantir que } 4δ^2 < ε, ext{ precisamos de } δ^2 < rac{ε}{4}, ext{ ou seja, } δ < rac{ oot{2}{ε}}{2}.
\
ext{Assim, podemos escolher } δ = ext{min}igg(1, rac{ oot{2}{ε}}{2}igg) ext{ para garantir que as condições sejam satisfeitas.}
\
ext{Assim, concluímos que } f ext{ é contínua em } x = 1.
\
ext{Portanto, a função } f(x) ext{ é contínua em } x = 1.