Continuidade · Intermediário

Continuidade de Funções Compostas: Questão de Cálculo I

Enunciado

> Conceito-chave: A continuidade de funções compostas é fundamental na análise de comportamento de funções.

Considere as funções e . Determine se a função composta é contínua em . Justifique sua resposta utilizando a definição de continuidade e o cálculo de limites.

Solução detalhada

Primeiro, vamos calcular :

egin{aligned} g(0) &= \sqrt{0 + 4} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2. \end{aligned}

Agora, substituímos na função para encontrar :

egin{aligned} h(0) &= f(g(0)) \\ &= f(2). \end{aligned}

No entanto, a função é dada por:

egin{aligned} f(x) &= \frac{x^2 - 4}{x - 2}. \end{aligned}

Observamos que resulta em uma indeterminação, pois:

egin{aligned} f(2) &= \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}. \end{aligned}

Para resolver essa indeterminação, vamos simplificar :

egin{aligned} f(x) &= \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}, \quad x \neq 2 \\ &= x + 2, \quad x \neq 2. \end{aligned}

Assim, podemos reescrever como:

egin{aligned} h(x) &= f(g(x)) = g(x) + 2, \quad g(x) \neq 2. \end{aligned}

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:

egin{aligned} \lim_{x \to 0} h(x) &= \lim_{x \to 0} (g(x) + 2) \\ &= \lim_{x \to 0} g(x) + 2 \\ &= g(0) + 2 \\ &= 2 + 2 \\ &= 4. \end{aligned}

Como não está definido, mas o limite existe e é igual a 4, podemos concluir que não é contínua em . Portanto, a função composta não é contínua em .

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