Continuidade · Intermediário

Determine a continuidade da função composta

Enunciado

Considere as funções $f (x) = \frac{1}{x}$ e $g (x) = x + 1$ . Determine se a função composta $h (x) = f (g (x))$ é contínua em $x = 0$ .

Solução detalhada

Para determinar a continuidade da função composta $h (x) = f (g (x))$ em $x = 0$ , devemos seguir os seguintes passos:

Calcular $g (0)$ :

g (0) = 0 + 1 = 1 = 1.

Calcular $h (0)$ :

h (0) = f (g (0)) = f (1) = \frac{1}{1} = 1.

Calcular o limite de $h (x)$ quando $x$ se aproxima de 0:

x \to 0 lim h (x) = x \to 0 lim f (g (x)) = x \to 0 lim f (x + 1) .

Substituir $g (x)$ na função $f$ :

x \to 0 lim f (x + 1) = x \to 0 lim \frac{1}{x + 1} .

Calcular o limite:

x \to 0 lim \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{0 + 1} = \frac{1}{1} = 1.

Comparar o limite com $h (0)$ :
Como $lim_{x \to 0} h (x) = 1$ e $h (0) = 1$ , podemos concluir que:

x \to 0 lim h (x) = h (0) .

Conclusão:
Portanto, a função $h (x)$ é contínua em $x = 0$ .

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