Problema Avançado de Continuidade em Cálculo I

> Enunciado: Considere a função $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ para $x\ne 2$ e $f(2)=3$. Determine se $f(x)$ é contínua em $x=2$ utilizando a definição de continuidade por ε-δ. Justifique sua resposta apresentando todos os passos necessários e analise o comportamento da função em torno de $x=2$.

Para verificar a continuidade da função $f(x)$ em $x=2$, precisamos mostrar que:

. Sabemos que $f(2)=3$. Agora, vamos calcular o limite:

• Calculando o limite:

Podemos simplificar a função. Note que $x^2-4$ é uma diferença de quadrados:

Portanto, temos:

Para $x\ne 2$, podemos cancelar $x-2$:

para $x\ne 2$.

• Recalculando o limite:
• Agora, recalculamos o limite:

• Comparando com $f(2)$:
• Como $f(2)=3$ e ${\lim }_{x\to 2}f(x)=4$, temos que ${\lim }_{x\to 2}f(x)\ne f(2)$.

• Conclusão:
• Portanto, a função não é contínua em $x=2$, já que a condição de continuidade não é satisfeita.
• > Justificativa rigorosa: Para a função ser contínua em $x=2$, para todo $ϵ>0$, deve existir um $\delta >0$ tal que se $0<|x-2|<\delta$, então $|f(x)-f(2)|<ϵ$. Como encontramos que $|f(x)-3|=|(x+2)-3|=|x-1|$, ao se aproximar de 2, $|f(x)-3|$ se aproxima de 1, não satisfazendo a condição para continuidade. Assim, $f(x)$ é descontínua em $x=2$.