Determinação da base do núcleo e imagem de uma transformação linear

> Contexto: Considere a transformação linear $T:ext{R}^{3}oext{R}^2$ dada pela matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$. Determine a base do núcleo e a imagem de $T$, além de calcular as dimensões correspondentes.

Para encontrar a base do núcleo e da imagem da transformação linear $T$, dada pela matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$, seguimos os seguintes passos:

• Cálculo do núcleo: Precisamos resolver a equação $Ax=0$, onde $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$. Isso resulta no sistema:

O que nos dá as equações:

Resolvendo a segunda equação, temos $x_2=-4x_3$. Substituindo na primeira:

Portanto, podemos expressar $x$ como:

Assim, uma base do núcleo de $T$ é dada por:

Portanto, a dimensão do núcleo é 1.

• Cálculo da imagem: A imagem de $T$ é gerada pelas colunas da matriz $A$. As colunas de $A$ são:

Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar a linearidade dessas colunas. Podemos formar a matriz aumentada e aplicar o método de eliminação de Gauss:

Isso mostra que as duas primeiras colunas são pivôs, então a base da imagem é:

Portanto, a dimensão da imagem é 2.

• Resumo: A base do núcleo de $T$ é $\left\{\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ 1\end{array}\right)\right\}$ com dimensão 1, e a base da imagem é $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)\right\}$ com dimensão 2.