Determinação de Máximos e Mínimos Usando Derivadas

> Conceito-chave: A aplicação das derivadas é fundamental para determinar os pontos críticos de uma função, onde podem ocorrer máximos ou mínimos.

Considere a função $f(x)=-2x^2+4x+1$. Determine os pontos críticos da função e classifique-os como máximos ou mínimos.

Para encontrar os pontos críticos da função $f(x)=-2x^2+4x+1$, vamos seguir os seguintes passos:

• Calcular a derivada da função:
• $$egin{aligned}
• f'(x) &= rac{d}{dx}(-2x^2 + 4x + 1) \
• &= -4x + 4.
• \
• \
• ext{Portanto, } f'(x) = -4x + 4.
• \
• \
• ext{2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:} \
• -4x + 4 = 0 \
• -4x = -4 \
• x = 1.
• \
• \
• ext{3. Determinar a natureza do ponto crítico usando a segunda derivada:} \
• f''(x) = rac{d}{dx}(-4x + 4) = -4.
• \
• \
• ext{Como } f''(x) < 0, ext{ o ponto } x = 1 ext{ é um máximo.}
• \
• \
• ext{4. Encontrar o valor de } f(1): \
• f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3.
• \
• \
• ext{5. Conclusão:} \
• O ponto crítico é } (1, 3) ext{ e é um máximo.}