Determinação de Máximos e Mínimos Usando Derivadas

> Conceito-chave: A derivada de uma função fornece informações sobre a taxa de variação da função e permite identificar pontos críticos.

Considere a função $f(x)=-2x^2+8x-5$. Determine os pontos de máximo e mínimo da função, bem como a natureza desses pontos.

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função $f(x)=-2x^2+8x-5$, seguimos os seguintes passos:

• Cálculo da derivada:
• A derivada da função é dada por:

• Encontrando os pontos críticos:
• Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Resolvendo essa equação:

• Análise da natureza do ponto crítico:
• Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, calculamos a segunda derivada:

Como $f^{\prime \prime }(x)<0$, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, portanto, $x=2$ é um ponto de máximo.

• Valor da função no ponto crítico:
• Agora, substituímos $x=2$ na função original para encontrar o valor máximo:

• Conclusão:
• Portanto, a função $f(x)$ atinge um máximo de 3 no ponto $x=2$. Não há pontos de mínimo, pois a parábola é côncava para baixo.