Integrais Def · Avançado

Cálculo de Integral Definida de Função Logarítmica

Enunciado

Calcule a integral definida da função $f (x) = x e x t l n (x)$ no intervalo $[1, e]$ . Além disso, interprete geometricamente o resultado obtido e discuta a continuidade da função no intervalo dado.

Solução detalhada

Para calcular a integral definida de $f (x) = x e x t l n (x)$ no intervalo $[1, e]$ , utilizaremos o método de integração por partes. Definimos as partes da seguinte forma:

Seja:

egin{aligned} u &= ext{ln}(x) \ dv &= x \, dx \ ext{Logo, temos:} \ du &= \frac{1}{x} \, dx \ v &= \frac{x^2}{2} \ \end{aligned}

Aplicando a fórmula de integração por partes:

\int u d v = uv - \int v d u

Temos:

\int x ln (x) d x = (ln (x) \cdot \frac{x ^{2}}{2}) - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x

Simplificando a integral:

\int x ln (x) d x = (ln (x) \cdot \frac{x ^{2}}{2}) - \int \frac{x}{2} d x

Calculando a integral restante:

\int \frac{x}{2} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{2}}{4}

Portanto, temos:

\int x ln (x) d x = (ln (x) \cdot \frac{x ^{2}}{2}) - \frac{x ^{2}}{4} + C

Agora, aplicamos os limites de integração de $1$ a $e$ :

\int_{1}^{e} x ln (x) d x = [(ln (x) \cdot \frac{x ^{2}}{2}) - \frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{e}

Calculando os limites:

Para $x = e$ :

(ln (e) \cdot \frac{e ^{2}}{2}) - \frac{e ^{2}}{4} = (1 \cdot \frac{e ^{2}}{2}) - \frac{e ^{2}}{4} = \frac{e ^{2}}{2} - \frac{e ^{2}}{4} = \frac{2 e ^{2} - e ^{2}}{4} = \frac{e ^{2}}{4}

Para $x = 1$ :

(ln (1) \cdot \frac{1 ^{2}}{2}) - \frac{1 ^{2}}{4} = 0 - \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}

Portanto, substituindo os limites na integral:

\int_{1}^{e} x ln (x) d x = \frac{e ^{2}}{4} - (- \frac{1}{4}) = \frac{e ^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e ^{2} + 1}{4}

Interpretação Geométrica: A integral calculada representa a área sob a curva de $f (x) = x ln (x)$ entre os pontos $x = 1$ e $x = e$ . A função é contínua e crescente neste intervalo, o que garante que a integral possui um valor positivo e representa a área efetiva entre a curva e o eixo $x$ . A continuidade da função $f (x)$ em $[1, e]$ é garantida, pois $f (x)$ é composta por funções contínuas em seu domínio.

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