Integrais Def · Básico

Cálculo da Integral Definida de uma Função Linear

Enunciado

> Conceito-chave: A integral definida de uma função fornece a área sob a curva entre dois pontos.

Calcule a integral definida da função linear $f (x) = 3 x + 2$ no intervalo $[1, 4]$ .

I = ext{Área} = extstyleigint_{1}^{4} (3x + 2) \, dx

Para calcular a integral definida, primeiro encontramos a antiderivada da função $f (x) = 3 x + 2$ . A antiderivada é dada por:

F (x) = \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:

I = F (4) - F (1)

Calculando $F (4)$ :

F (4) = \frac{3}{2} (4)^{2} + 2 (4) = \frac{3}{2} (16) + 8 = 24 + 8 = 32

Agora, calculamos $F (1)$ :

F (1) = \frac{3}{2} (1)^{2} + 2 (1) = \frac{3}{2} (1) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2}

Substituindo os valores encontrados na fórmula da integral:

I = F (4) - F (1) = 32 - \frac{7}{2}

Para subtrair, precisamos expressar 32 como uma fração:

32 = \frac{64}{2}

Portanto:

I = \frac{64}{2} - \frac{7}{2} = \frac{64 - 7}{2} = \frac{57}{2}

Assim, a integral definida da função $f (x) = 3 x + 2$ no intervalo $[1, 4]$ é:

I = \frac{57}{2}

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