Geometria Analítica · Intermediário

Cálculo do Produto Vetorial e Volume de um Paralelepípedo

Enunciado

Considere os vetores $e x t b f a = (2, 3, 1)$ , $e x t b f b = (1, - 1, 2)$ e $e x t b f c = (0, 4, - 1)$ . Calcule o produto vetorial $e x t b f a im ese x t b f b$ e, em seguida, determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $e x t b f a$ , $e x t b f b$ e $e x t b f c$ utilizando o produto misto.

Solução detalhada

Para calcular o produto vetorial $e x t b f a im ese x t b f b$ , utilizamos a seguinte fórmula:

extbf{a} imes extbf{b} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}

Calculando o determinante, temos:

e x t b f a im ese x t b f b = e x t b f i (3 im es 2 - 1 im es (- 1)) - e x t b f j (2 im es 2 - 1 im es 1) + e x t b f k (2 im es (- 1) - 3 im es 1)

= e x t b f i (6 + 1) - e x t b f j (4 - 1) + e x t b f k (- 2 - 3)

= 7 e x t b f i - 3 e x t b f j - 5 e x t b f k

Portanto, $e x t b f a im ese x t b f b = (7, - 3, - 5)$ .

Agora, para calcular o volume do paralelepípedo, utilizamos o produto misto dado por:

V = | extbf{a} ullet ( extbf{b} imes extbf{c})|

Primeiro, precisamos calcular $e x t b f b im ese x t b f c$ :

extbf{b} imes extbf{c} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix}

Calculando o determinante, temos:

e x t b f b im ese x t b f c = e x t b f i ((- 1) im es (- 1) - 2 im es 4) - e x t b f j (1 im es (- 1) - 2 im es 0) + e x t b f k (1 im es 4 - (- 1) im es 0)

= e x t b f i (1 - 8) - e x t b f j (- 1 - 0) + e x t b f k (4 - 0)

= - 7 e x t b f i + e x t b f j + 4 e x t b f k

Assim, $e x t b f b im ese x t b f c = (- 7, 1, 4)$ .

Agora, calculamos o produto escalar:

extbf{a} ullet ( extbf{b} imes extbf{c}) = (2, 3, 1) ullet (-7, 1, 4)

= 2 im es (- 7) + 3 im es 1 + 1 im es 4

= - 14 + 3 + 4 = - 7

Portanto, o volume do paralelepípedo é:

V = ∣ - 7∣ = 7

Assim, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $e x t b f a$ , $e x t b f b$ e $e x t b f c$ é 7.

Explorar Geometria Analítica · mais questões resolvidas da mesma matéria.

Pack sugerido: ga-produtos-intermediario

Cálculo do Produto Vetorial e Volume de um Paralelepípedo

Enunciado

Solução detalhada

Outras questões