Geometria Analítica · Básico

Calcule a área de um paralelogramo usando produto vetorial

Enunciado

> Conceito-chave: A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial.

Considere os vetores $e x t b f u = (2, 3, 1)$ e $e x t b f v = (1, 0, 4)$ no espaço tridimensional. Calcule a área do paralelogramo formado por esses dois vetores.

Solução detalhada

Para encontrar a área do paralelogramo formado pelos vetores $e x t b f u$ e $e x t b f v$ , utilizamos a seguinte fórmula:

A = ∣∣ e x t b f u im ese x t b f v ∣∣

onde $∣∣ e x t b f u im ese x t b f v ∣∣$ é o módulo do produto vetorial de $e x t b f u$ e $e x t b f v$ . Vamos calcular o produto vetorial:

Primeiro, escrevemos os vetores:

e x t b f u = (2, 3, 1)

e x t b f v = (1, 0, 4)

O produto vetorial $e x t b f u im ese x t b f v$ é dado por:

extbf{u} imes extbf{v} = egin{vmatrix} extbf{i} & extbf{j} & extbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix}

Calculando o determinante, temos:

e x t b f u im ese x t b f v = e x t b f i (3 im es 4 - 1 im es 0) - e x t b f j (2 im es 4 - 1 im es 1) + e x t b f k (2 im es 0 - 3 im es 1)

= e x t b f i (12) - e x t b f j (8 - 1) - e x t b f k (3)

= (12, - 7, - 3)

Agora, calculamos o módulo do vetor resultante:

∣∣ e x t b f u im ese x t b f v ∣∣ = e x t s q r t (1 2^{2} + (- 7)^{2} + (- 3)^{2})

= e x t s q r t (144 + 49 + 9)

= e x t s q r t (202)

Portanto, a área do paralelogramo é:

A = ∣∣ e x t b f u im ese x t b f v ∣∣ = e x t s q r t (202)

Assim, a área do paralelogramo formado pelos vetores $e x t b f u$ e $e x t b f v$ é $A = e x t s q r t (202)$ unidades quadradas.

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