Calcule a distância entre dois planos usando produtos vetoriais

Dada a equação do plano $P_1:2x-3y+z-5=0$ e $P_2:x+y+2z-3=0$, determine a distância entre os planos $P_1$ e $P_2$ utilizando o produto vetorial.

Primeiro, identificamos os vetores normais dos planos $P_1$ e $P_2$. O vetor normal do plano $P_1$ é dado por $\overrightarrow{n_1}=(2,-3,1)$ e o vetor normal do plano $P_2$ é $\overrightarrow{n_2}=(1,1,2)$.\
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Os planos são paralelos se os vetores normais são múltiplos escalares. Para verificar isso, calculamos o produto vetorial entre $\overrightarrow{n_1}$ e $\overrightarrow{n_2}$:\

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Como o produto vetorial não é o vetor nulo, os planos não são paralelos. Portanto, vamos encontrar a distância entre um ponto no plano $P_1$ e o plano $P_2$.\
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Escolhemos um ponto em $P_1$, por exemplo, quando $x=0$ e $y=0$: temos $z=5$, então o ponto é $A(0,0,5)$.\
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Agora, utilizamos a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é dada por:\

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onde $A$, $B$, $C$ e $D$ são os coeficientes da equação do plano $P_2:x+y+2z-3=0$, e $(x_0,y_0,z_0)$ são as coordenadas do ponto $A$. Assim, temos $A=1$, $B=1$, $C=2$, $D=-3$ e $(x_0,y_0,z_0)=(0,0,5)$.\
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Substituindo na fórmula da distância, obtemos:\

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Assim, a distância entre os planos $P_1$ e $P_2$ é $\frac{7\sqrt{6}}{6}$.