Calcule a área do paralelogramo formado por dois vetores

Dado os vetores \( \mathbf{a} = (2, 3, 1) \) e \( \mathbf{b} = (1, 0, 4) \), calcule a área do paralelogramo formado por esses vetores.

A área do paralelogramo formado pelos vetores \( \mathbf{a} \) e \( \mathbf{b} \) é dada pelo módulo do produto vetorial \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \).

Primeiro, calculamos o produto vetorial:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} \]

Calculando o determinante:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(3 \cdot 4 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) \]

\[ = \mathbf{i}(12) - \mathbf{j}(8 - 1) + \mathbf{k}(0 - 3) \]

\[ = 12\mathbf{i} - 7\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \]

Agora, encontramos o módulo do vetor resultante:

\[ ||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \sqrt{12^2 + (-7)^2 + (-3)^2} \]

\[ = \sqrt{144 + 49 + 9} = \sqrt{202} \]

Portanto, a área do paralelogramo é:

\[ \text{Área} = ||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \sqrt{202} \]
Assim, a área do paralelogramo formado pelos vetores \( \mathbf{a} \) e \( \mathbf{b} \) é \( \sqrt{202} \).