Cálculo de Distância entre Planos Ortogonais no $R^3$

Considere os planos dados pelas equações:

e

. Verifique se esses planos são ortogonais e, caso sejam, calcule a distância entre eles.

Para determinar se os planos $P_1$ e $P_2$ são ortogonais, precisamos encontrar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano na forma $Ax+By+Cz+D=0$ é dado por $(A,B,C)$.

• Identificação dos vetores normais:
• Para o plano $P_1:2x-3y+z-5=0$, o vetor normal é:

Para o plano $P_2:x+4y-2z+1=0$, o vetor normal é:

• Verificação da ortogonalidade:
• Os planos são ortogonais se o produto escalar dos vetores normais for igual a zero:

Portanto, os planos não são ortogonais.

• Cálculo da distância entre os planos:
• Para calcular a distância entre dois planos paralelos, utilizamos a fórmula:

onde $D_1$ e $D_2$ são as constantes dos planos na forma $Ax+By+Cz+D=0$.
No entanto, como os planos não são paralelos, a distância entre eles não é uma constante, mas sim a distância do ponto de um plano ao outro. Para um ponto $P_0$ no plano $P_1$, podemos escolher, por exemplo, $P_0(2,0,3)$, que satisfaz a equação do plano $P_1$:

.
Para encontrar a distância do ponto $P_0$ ao plano $P_2$, utilizamos a fórmula da distância de um ponto a um plano:

Substituindo os valores:

.

• Resultado:
• A distância entre o ponto $P_0$ no plano $P_1$ e o plano $P_2$ é

.