Como encontrar a equação de um plano no espaço?

Considere o ponto $P(1,2,3)$ e o vetor normal ao plano $\vec{n}=(2,-1,4)$. Determine a equação do plano que passa pelo ponto $P$ e é perpendicular ao vetor $\vec{n}$.

A equação do plano pode ser encontrada utilizando a forma geral da equação do plano, que é dada por:

onde $(a,b,c)$ são as componentes do vetor normal e $(x,y,z)$ são as coordenadas de um ponto no plano.

Dado o vetor normal $\vec{n}=(2,-1,4)$, temos:
- $a=2$
- $b=-1$
- $c=4$

O ponto $P(1,2,3)$ pertence ao plano, então podemos substituir as coordenadas de $P$ na equação do plano para encontrar $d$:

que simplificando resulta em:

ou seja:

Portanto, temos:

Substituindo $d$ na equação do plano, obtemos:

Assim, a equação do plano que passa pelo ponto $P(1,2,3)$ e é perpendicular ao vetor $\vec{n}$ é: